Théorème de Glivenko-Cantelli - Math'φsics

Théorème de Glivenko-Cantelli

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Théorème de Glivenko-Cantelli, Théorème fondamental de la statistique :
\(X_1,\dots,X_n\) sont des v.a.i.i.d dans \({\Bbb R}^d\)

\(\forall\omega\in\Omega\), on pose $$\mu_{n,\omega}:=\frac1n\sum_{j=1}^n\delta_{X_j(\omega)}$$

$$\Huge\iff$$

on a presque-sûrement :$$\mu_{n,\omega}\overset{(e)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}{\Bbb P}_{X_1}$$
Démontrer :

Ecrire l'expression de l'intégrale avec \(\varphi\) continue à support compact.

On a la Convergence presque sûre via la Loi forte des grands nombres.

On conclut en prenant \(H\subset\mathcal C_c({\Bbb R}^d)\) dénombrable et dense